2024考研数学一真题(2024考研数学一答案)
这是题目
这是题目
这个题目，既可以用常规方法，套用公式，直接算出各项系数的公式，再算出偶数项之和。
也可以利用函数在1点 和0点 的值，展开成傅里叶级数后 和展开前相等。而且x=0点，所有cos nπx 都等于1，所以函数值等于 常数项 加 奇数项 系数和加偶数项系数 的和。
在x=1点，cos nπx 当n 为奇数时，就是cos π，cos3π，cos5π，。。。 的值 都是 -1
当n 为偶数时，就是 cos 2π，cos4π，cos6π。。。
的值都为1
所以，函数值 在1点的值等于，等于常数项，减去 奇数项系数和，加上偶数项系数和。
这样，就可以列出一个二元一次方程组，未知数分别为奇数项系数和 与 偶数项系数和，分别叫成x,y 解出方程来就算出来了。
解析延拓成偶函数
解析延拓 成偶函数
这个题目，函数只定义在半个周期上，对于这样的情况，既可以解析延拓为偶函数展开，也可以延拓为奇函数展开，看题目，要求展开成 cos，所以解析延拓成偶函数。
上图就是延拓以后的函数图形。
这样延拓以后，函数没有间断点，所以傅里叶级数在每一点都等于函数值，当然包括0点和1点。
傅里叶级数的常数项 应该等于 一个周期内，函数的积分，再除以函数的周期长度。也就是一个周期内的平均高度。
在 这里，函数一个周期为2，一个周期内的积分 是 三角形的面积，底边为周期长度2，高为1，总面积为1，周期长度为2。所以平均高度为1/2。 所以级数展开后常数项 应该为
1/2
列出方程
列出方程
按照上边的说明，列出以上方程组。
解出方程
解出方程
解出方程组，得出 偶数项系数和为0
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也可以利用函数在1点 和0点 的值，展开成傅里叶级数后 和展开前相等。而且x=0点，所有cos nπx 都等于1，所以函数值等于 常数项 加 奇数项 系数和加偶数项系数 的和。
在x=1点，cos nπx 当n 为奇数时，就是cos π，cos3π，cos5π，。。。 的值 都是 -1
当n 为偶数时，就是 cos 2π，cos4π，cos6π。。。
的值都为1
所以，函数值 在1点的值等于，等于常数项，减去 奇数项系数和，加上偶数项系数和。
这样，就可以列出一个二元一次方程组，未知数分别为奇数项系数和 与 偶数项系数和，分别叫成x,y 解出方程来就算出来了。
解析延拓成偶函数
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这个题目，函数只定义在半个周期上，对于这样的情况，既可以解析延拓为偶函数展开，也可以延拓为奇函数展开，看题目，要求展开成 cos，所以解析延拓成偶函数。
上图就是延拓以后的函数图形。
这样延拓以后，函数没有间断点，所以傅里叶级数在每一点都等于函数值，当然包括0点和1点。
傅里叶级数的常数项 应该等于 一个周期内，函数的积分，再除以函数的周期长度。也就是一个周期内的平均高度。
在 这里，函数一个周期为2，一个周期内的积分 是 三角形的面积，底边为周期长度2，高为1，总面积为1，周期长度为2。所以平均高度为1/2。 所以级数展开后常数项 应该为
1/2
列出方程
列出方程
按照上边的说明，列出以上方程组。
解出方程
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解出方程组，得出 偶数项系数和为0
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